乌鲁木齐地区2016年高三年级第二次诊断性测验

理科数学答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．

1~5  BAADC   6~10  ACDCC  11~12  DB

1.选B.【解析】∵ ，∴ ，故选B.

2.选A.【解析】∵ ，对应的点为 .故选A.

3.选A.【解析】∵ 是偶函数，∴ ，∴ ，

再根据 的单调性，得 ，解得 .故选B.

4.选D.【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，

平移直线 ，可知当经过点 时，

取最小值 .故选D.

5.选C.【解析】由 ,得 ，又∵ 是第二象限角,

　∴ ，∴原式= .故选C.

6.选A.【解析】由几何体的三视图，可知该几何体为截去一角的

  长方体，其直观图如图所示，所以其体积

，故选A.

7.选C.【解析】

　 ，故选C.

8.选D.【解析】由 ，解得 或 .由框图可知，开始， ， .第一步， ， .第二步， ， .第三步， ， .第四步， ， .第五步，因为 ，满足判断框内的条件，故输出结果为 .故选D.

9.选C.【解析】由题意知， ， ，则

  ，当且仅当 时， 取最小值 .故选C.

10.选C.【解析】 ，∵ ，∴  ， ，方程 有两根 ，由对称性，有 ，∴ ，故选C.

11.选D.【解析】令 ，则 ，令 则 ，

当 时， ， ，当 时， ， ，

∴函数 的增区间为 ，减区间为 ，又

∴当 时， ，即 ，即

而 时， ，即 ，故A、B不正确，

令 ，同理可知函数 的增区间为 ，减区间为

∴当 时， ，即 ，即 ,故选D.

12.选B.【解析】设 ，交点 ，则 ，与 联立，得 ，若要点 始终在第一象限，需要 即要 恒成立，若点 在第一象限，此不等式显然成立；只需要若点 在第四象限或坐标轴上此不等式也成立.此时 ，∴ ，而 ，故 恒成立，只需 ，即 ，

∴ .故选B.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.填 .【解析】 展开式的通项为 ，由题意可知， 的系数为 .

14.填 ．【解析】不妨设椭圆方程为 ，依题意得 ， ，得椭圆方程为 ，设此内接正方形在第一象限的顶点坐标为 ，代入椭圆方程，得 ，所以正方形边长为 .

15.填  ．【解析】由题意得， ，而 ，∴ ，又 ， 不可能是钝角， ，而 ，即 ，∴ ，∴ .

16.填 ．【解析】在四面体 中，取线段 的中点为 ，连结 ， ，则 ，在 中 ,

∴ ，同理 ，取 的中点为 ,由 ，得 ，在 中， ， ,取 的中点为 ，则 ,在 中 ， ,∴该四面体的外接球的半径是 ，其外接球的表面积是 .

三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤．

17.（12分）

（Ⅰ）当 时，由 得 ， 时，由 ， ，

当 时， ，  ，两式相减，得 ，

即 ，  所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，则 .     …6分

（Ⅱ） ，令 ，则

记数列 的前 项和为 ，即

则 ，

两式相减，得

                ∴                    …12分

18.（12分）

（Ⅰ）连结 ,由题意得 ,又∵ 平面 ，

∴ ,∴ 面 ,∴ ,

又∵ ，∴ 面 ,∴ ；      …6分

（Ⅱ）如图，以 为坐标原点，分别以 , 的方向为 轴， 轴正方向，建立空间直角坐标系 .由题意得 ， ， ， ，则 , ，设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，令 ，则 ， ，于是 ，易知，平面 的法向量为 , ∴ ，

即，二面角 的平面角的余弦值是                        …12分

19.（12分）

（Ⅰ）由题意得 列联表

所以根据此统计有 的把握认为学生选答“几何类”与性别有关.          …6分

（Ⅱ）根据分层抽样得，在选答“选修4—1”“选修4—4”和“选修4—5”的同学中分别抽取 名， 名， 名，依题意知 的可能取值为

, , ,

所以 的分布列为                                                            …12分

20.(12分)

（Ⅰ）依题意，点 到点 的距离与它到直线 的距离相等，∴点 的轨迹 是以 为焦点，以直线 为准线的抛物线，∴ 的方程为 （或 轴负半轴；                                                              …6分

（Ⅱ）根据对称性只考虑 的斜率为正的情形，设点 在准线上的投影分别为 ，要证 ，就是要证 ，

只需证 ，即证 …①

设直线 的方程为 ，代入 ，得 ，

设 ，则 …②， …③，

在 中，令 ，得 ，即

因此，要证①式成立，只需证：

     只需证： …④，

     由②③两式，可知 ，

     ∴④式成立，∴原命题获证．                                         …12分

21.(12分)

（Ⅰ）当 时，令 ，则 ，

当 时， ， ，∴ ，此时函数 递增，

∴当 时， ，当 时， …① …5分

（Ⅱ）  …② 令 ，得 ， ，

⑴当 时， ，由②得 …③

∴当 时， ， ， ∴ ，此时，函数 为增函数，

∴ 时， ， ， 时， ，

故函数 ，在 上有且只有一个零点  ；

⑵当 时， ，且 ，

由②知，当 ， ， ， ，

此时， ；同理可得，当 ， ；当 时， ；

∴函数 的增区间为 和 ，减区间为

故，当 时， ，当 时，

∴函数 ， 有且只有一个零点 ；

又 ，构造函数 ， ，则  …④，易知，对 ， ， ∴函数 ， 为减函数，∴

由 ，知 ，∴ …⑤

构造函数 ，则 ，当 时， ，当 时， ，∴函数 的增区间为 ，减区间为 ，∴ ，∴有 ，则 ，

∴ ，当 时， …⑥

而 …⑦

由⑥⑦知 …⑧

又函数 在 上递增，

由⑤⑧和函数零点定理知， ，使得

综上，当 时，函数 有两个零点，

⑶当 时， ，由②知函数 的增区间是

和 ，减区间是 …⑨

        由④知函数 ，当 为减函数，∴当 时

        从而 ；当 时， ，

         …⑩

        又 时，函数 递增，∴ 使得 ，

        根据⑨知，函数 时，有 ； 时， ， ，∴函数 有且只有一个零点

综上所述：当 和 时，函数 有两个零点，

当 时，函数 有且仅有一个零点．               …12分

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，并将所选的题号下的“○”涂黑．如果多做，则按所做的第一题记分，满分10分．

22．（10分）

（Ⅰ）连结 ，延长 交 于 ，过 点平行于 的直线是 ，

   ∵ 是直径，∴ ，∴ ，

∵ 四点共圆，∴ ，又∵ 是圆内接四边形，∴ ，

∴ ，而 ,∴ ∽ , ∴ ,

∴ , ∴ ,∴ 是⊙ 的切线．                   …5分

（Ⅱ）∵ ,∴ 四点共圆，

   ∴ , 同理 ,

两式相加

                    …10分

23．（10分）

（Ⅰ）由 ，得 ， ，∴                 …5分

（Ⅱ）设 的极角为 ， ，则 ，

   则 ,代入 得

      ,代入 得 ，

      ∴                                    …10分

24．（10分）

（Ⅰ）∵

   ∴             …5分

（Ⅱ）∵

   ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴使 恒成立的 的最小值是 ．              …10分

以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分．